Решение:
Розглянемо окружність (для простоти викладу будем вважати, що її довжина дорівнює 1) і зафіксуємо на ній точку O.
Розглянемо вписаний у цю окружність правильний n-кутник із вершиною O. Множину усіх його вершин позначимо через Fn.
Окремо визначимо F1 = {O}, F2 – множину із двох точок: O і діаметрально протилежну до O.
Іншими словами, якщо розглядати нашу окружність як вісь координат, де O — початок відліку, то множина Fn складається з усіх n точок з координатами виду k/n: 0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n.
Можна описати їх і таким чином: це раціональні числа 0 ≤ q < 1, у яких знаменник у нескоротному записі є дільником n.
Легко зрозуміти, що перетин множин вершин правильного n-кутника та правильного m-кутника полягає у точності із вершин правильного (n,m)-кутника.
Мовою координат це майже очевидно: знаменник у нескоротному записі ділить n та ділить m точно тоді, коли він ділить (n,m).
Лишилося зазначити, що усі отримані точки на окружності (насправді ми, звичайно, хоча б раз задіяли усі раціональні точки з одиничного інтервалу, але це не важливо) можна співставити із натуральними числами.
Наприклад, перебираючи усі багатокутники у висхідному порядку, нумеруємо кожен раз усі їх вершини (ще не пронумеровані раніше), черговими натуральними числами. Таким чином, множини Fn точок на окружності перетворяться у множини An, які складаються із натуральних чисел.
