Решение:
Припустимо, є учень A, який займається тільки в одному гуртку. Оскільки для будь-яких двох учнів існує гурток, в якому вони займаються разом, то і всі інші учні класу повинні відвідувати той же гурток, що і A. Але тоді в цьому гуртку 27 учнів, і вимога завдання виконана.
Нехай тепер кожен з учнів відвідує рівно два гуртка. Розглянемо довільного учня A. Він відвідує два гуртки I і II. Якщо всі інші учні класу відвідують саме ці два гуртки, то в кожному з них по 27 учнів, і вимогу завдання знову виконано.
Нехай знайдеться такий учень B, який відвідує гурток III. Учень B повинен також відвідувати один з гуртків I і II, оскільки є гурток, в якому він займається разом з A . Будемо вважати, що B відвідує гурток II. Якщо всі інші учні відвідують гурток II, то в цьому гуртку 27 чоловік.
Припустимо, знайшовся учень C, яка не відвідує гурток II. Тоді, оскільки він повинен ходити на якийсь гурток разом з A і на якийсь разом з B, то C ходить на гуртки < i> I і III.
У результаті у нас є гурток I, який відвідують A і C, гурток II, який відвідують A і B і гурток III, який відвідують B і C.
Розглянемо довільного учня D. Якщо він відвідує якийсь гурток IV, то з гуртків I, II, III він може відвідувати максимум один. Але тоді він не зустрінеться ні на одному з гуртків з кимось із A, B або C.
Це означає, що кожен з учнів відвідує рівно два гуртки з I, II, III. Зауважимо, що тоді на один з гуртків I, II або III ходить не менше 27 * 2/3 = 18 учнів.
