Задача 7.20

Ответ: n=6 або n=12.

Список задач

Ответ: n=6 або n=12.

Решение:
Очевидно, що n=x₁x_2k=x₂x_2k-1=...=x_k-1x_k+1.

Отже, x_kx_k+1 ділиться на x_k-1. Оскільки x_k-1, x_k, x_k+1 є трьома послідовними натуральними числами, то НСД(x_k-1,x_k,x_k+1)≤2.

Отже, можливі два випадки: x_k-1=1 і x_k+1=2.

1) Нехай x_k-1=1. Тоді k=2. Тому натуральне число n має 4 дільники і перші 3 з них – це 1, 2 і 3. Отже, це число 6. Очевидно, що це число задовольняє умови задачі.

1) Нехай тепер x_k-1=2. Оскільки x₁=1, то k-1=2.

Тому натуральне число n має 6 дільників і перші 4 з них – це 1, 2, 3, 4. Але тоді n ділиться на 6 і 12. Отже, n=12. Очевидно, що це число задовольняє умови задачі.