Задача 11.5

Відповідь: n = m = 1, k = 5.

Відповідь: n = m = 1, k = 5.

Рішення:
Перепишемо рівняння у вигляді: 21ⁿ = (k -2^m)(k + 2^m).

Позначимо a = k - 2^m, b = k + 2^m. Оскільки a - b = 2^m+1, то числа a і b не можуть одночасно ділитися на 3 або на 7.

Тому a = 3ⁿ, b = 7ⁿ. Тоді a - b = 2^m+1 = 7ⁿ - 3ⁿ.

Перепишемо останнє рівняння у вигляді:
2^m+1 = 4(7^n-1 + 7^n-2 * 3 + 7^n-3 * 3² + ... + 7 * 3 ^n-2
+ 7^n-1) * 2^m-1 = 7^n-1 + 7^n-2 * 3 + 7^n-3 * 3² + ... + 7 * 3^n-2 + 3^n-1

Припустимо, m≥3. У цьому випадку 2^m-1¦4.

З іншого боку, 7^n-1 + 7^n-2 * 3 + 7^n-3 * 3² + ... + 7 * 3^n-2 + 3^n-2 + 3^n-1n-1 * n.

Таким чином, n¦4. Тоді 7ⁿ ≡ 2ⁿ ≡ 4^n/2 ≡ (-1)^n/2 = 1(mod5) і 3ⁿ ≡ (-2)ⁿ = 2ⁿ = 4^n/2 ≡ (-1)^n/2 = 1(mod5).

Отже, 2^m+1 = 7ⁿ - 3ⁿ ≡ 0(mod5), що неможливо.

Залишилось розглянути випадки m=1 і m=2.