Задача 7.19

Умова:По колу розставлені 2005 натуральних чисел. Доведіть, що знайдуться двоє таких сусідніх чисел, що після їх викреслювання числа, що залишаться, не можна розбити на дві групи з рівною сумою.

Я ЗНАЮ ВІДПОВІДЬ

Підказка буде доступна через

Рішення:
1) Якщо все 2005 чисел непарні, то загальна сума теж непарна. Після викреслювання двох непарних чисел сума чисел, що залишаться, буде непарною. Отже, їх не можна розбити на дві групи з рівною сумою.

2) Нехай серед написаних 2005 є і парні, і непарні числа. Якщо сума всіх чисел парна, то потрібно знайти пару сусідніх чисел різної парності (такі обов'язково знайдуться, оскільки у нас є серед виписаних як парні, так і непарні числа). Тоді, як і в попередньому випадку, сума чисел, що залишаться, буде непарною. Якщо сума всіх чисел парна, то потрібно знайти пару сусідніх чисел різної парності. Така пара чисел обов'язково знайдеться. Дійс-но, в іншому випадку парність виписаних чисел повинна чергуватися, що неможливо, оскільки загальна кількість чисел непарна. Знову отримали, що сума чисел, що залишать-ся, непарна.

3) Якщо всі виписані числа парні, то можна розділити всі числа на 2 і розглянути новий набір чисел. Очевидно, що викреслити числа для початкового набору відповідно до умо-ви можна тоді і тільки тоді, коли це можна зробити для нового набору. Якщо у новому наборі знову всі числа парні, то знову ділимо всі числа на два. І так до тих пір, доки не з'явиться непарне число. Після цього потрібно скористатися міркуванням з пункту 1 або пункту 2.