Задача 8.15
Умова:Знайдіть такі прості числа p, q, r і натуральне число k, щоб виконувалася рівність
p2 + q2 + 16r2 = 9k2 + 1
p2 + q2 + 16r2 = 9k2 + 1
Я ЗНАЮ ВІДПОВІДЬ
Підказка буде доступна через
Підказка
Підказка: Розгляньте остачі при діленні на 3 
Подивитися відповідь можна через:
Подивитися відповідь
Подивитися рішення
Відповідь: (3,3,2,3), (37,3,3,13), (3,37,3,13), (17,3,3,7), (3,17,3,7)
Я ПОМИЛИВСЯ
Я ВИРІШИВ ВІРНО
Подивитися рішення
Рішення:
Відмітимо, що права частина нашого рівняння дає остачу 1 при діленні на 3. З іншого боку, p2 + q2 + 16r2 = p2 + q2 + r2 (mod3).
Тому p2 + q2 + r2 = 1(mod3).
Квадрат натурального числа може давати при діленні на 3 тільки остачі 0 і 1. Отже, сума трьох квадратів натуральних чисел може давати остачу 1 при діленні на 3 у тому і тільки у тому випадку, коли два з трьох чисел діляться на 3.
Єдине просте число, що ділиться на три, - це число 3. Отже, двоє з чисел p, q, r дорівнюють 3. Відмітимо, що початкове рівняння симетричне відносно чисел p і q. Тому достатньо розібрати два випадки: p=q=3 і q=r=3.
1. Нехай p=q=3. У цьому випадку початкове рівняння набуває вигляду:
18 + 16r2 = 9k2 + 1 ⇔ 9k2 - 16r2 = 17 ⇔ (3k - 4r)(3k + 4r) = 17
Оскільки 17 – просте число, воно єдиним чином уявляється у вигляді добутку натуральних множників: 17 = 1 * 17. Оскільки 3k - 4r < 3k + 4r, то 3k - 4r = 1 і 3k + 4r = 17. Звідси знаходимо, що k=3, r=2. Таким чином, ми отримали четвірку чисел (3,3,2,3), що задовольняє умови задачі.
2. Нехай тепер q=r=3. У цьому випадку початкове рівняння набуває вигляду:
p2 + 153 = 9k2 + 1 ⇔ 9k2 - p2 = 152 ⇔ (3k - p)(3k + p) = 152.
Число 152 розкладається на прості множники наступним чином 152=23*19. Відмітимо, що 3k - p < 3k + p і, крім того, числа 3k - p і 3k + p однієї парності. Тому можливі два варіанти:
3k - p = 2, 3k - p = 4,
3k + p = 76 3k + p = 38
З першої системи знаходимо, що p=37, k=13, і отримуємо дві четвірки, що задовольняють умови: (37,3,3,13,) і (3,37,3,13). З другої системи знаходимо, що p=17, k=7, звідки отримуємо четвірки: (17,3,3,7), (3,17,3,7).
Відмітимо, що права частина нашого рівняння дає остачу 1 при діленні на 3. З іншого боку, p2 + q2 + 16r2 = p2 + q2 + r2 (mod3).
Тому p2 + q2 + r2 = 1(mod3).
Квадрат натурального числа може давати при діленні на 3 тільки остачі 0 і 1. Отже, сума трьох квадратів натуральних чисел може давати остачу 1 при діленні на 3 у тому і тільки у тому випадку, коли два з трьох чисел діляться на 3.
Єдине просте число, що ділиться на три, - це число 3. Отже, двоє з чисел p, q, r дорівнюють 3. Відмітимо, що початкове рівняння симетричне відносно чисел p і q. Тому достатньо розібрати два випадки: p=q=3 і q=r=3.
1. Нехай p=q=3. У цьому випадку початкове рівняння набуває вигляду:
18 + 16r2 = 9k2 + 1 ⇔ 9k2 - 16r2 = 17 ⇔ (3k - 4r)(3k + 4r) = 17
Оскільки 17 – просте число, воно єдиним чином уявляється у вигляді добутку натуральних множників: 17 = 1 * 17. Оскільки 3k - 4r < 3k + 4r, то 3k - 4r = 1 і 3k + 4r = 17. Звідси знаходимо, що k=3, r=2. Таким чином, ми отримали четвірку чисел (3,3,2,3), що задовольняє умови задачі.
2. Нехай тепер q=r=3. У цьому випадку початкове рівняння набуває вигляду:
p2 + 153 = 9k2 + 1 ⇔ 9k2 - p2 = 152 ⇔ (3k - p)(3k + p) = 152.
Число 152 розкладається на прості множники наступним чином 152=23*19. Відмітимо, що 3k - p < 3k + p і, крім того, числа 3k - p і 3k + p однієї парності. Тому можливі два варіанти:
3k - p = 2, 3k - p = 4,
3k + p = 76 3k + p = 38
З першої системи знаходимо, що p=37, k=13, і отримуємо дві четвірки, що задовольняють умови: (37,3,3,13,) і (3,37,3,13). З другої системи знаходимо, що p=17, k=7, звідки отримуємо четвірки: (17,3,3,7), (3,17,3,7).
