Задача 8.20

Відповідь: б) A₂₈.

Перелік задач

Відповідь: б) A₂₈.

Рішення:
Відмітимо, що послідовність вершин відновлюється однозначно. Дійсно, нехай третя вершина позначена A_p.

Тоді будь-яка хорда, що виходить з другої вершини (A₄), перетинає хорду A₁A_p.

Але порівняння 4 + x = 1 + p(mod 2012) має розв’язок x = p - 3(mod2012), і для того, щоб умови задачі було виконано, необхідно, щоб x = 4. Отже, p = 7.

Аналогічно доводиться, що четверта вершина повинна бути позначена A₁₀, п’ята – A₁₃ і так далі...

Отже, i-а вершина буде позначена A_3i-2 (якщо 3i-2 більше від 2012, то під A_3i-2 ми будемо розуміти таку вершину A_k, що 1 ≤ k ≤ 2012 і k = 3i - 2(mod2012).

Залишилося перевірити, що така розстановка задовольняє умови задачі. Нехай 1 ≤ i < j < k < l ≤ 2012.

Тоді хорди A_3i-2A_3k-2 і A_3j-2A_3l-2 перетинаються.

Але числа 3i - 2 + 3k - 2 і 3j - 2 + 3l - 2 не можуть давати однакові остачі при діленні на 2012.

Дійсно, припустимо, що має місце порівняння 3i - 2 + 3k - 2 = 3j - 2 + 3l - 2(mod2012), яке рівнозначне 3(l - k + j - i) = 0(mod2012).

А оскільки НОД(3,2012)=1, то число A=l-k+j-i ділиться на 2012.

Але з нерівності 1 ≤ i < j < k < l ≤ 2012 випливає, що A = l - (k - j) - i < l < 2012. Тому A не ділиться на 2012. Маємо протиріччя.