Задача 8.4

Відповідь: Умові задовольняють пари чисел (2,2), (1,3), (3,3).

Перелік задач

Відповідь: Умові задовольняють пари чисел (2,2), (1,3), (3,3).

Рішення:
З умови випливає, що a³b - 1 ділиться на a + 1. Але a³b - 1 = (a³b + b) - (b + 1) = b(a + 1)(a¹ - a + 1) - (b + 1).

Отже, b + 1 ділиться на a + 1. Зрозуміло, що b³a + 1 ділиться на b - 1. Відмітимо, що
b³a + 1 = (b³a - a) + (a + 1) = a(b² + b + 1) + (a + 1).

Отже, a + 1 ділиться на b - 1.

Таким чином, ми отримали, що b + 1 ділиться на a + 1, а a + 1 ділиться на b - 1.

Тому b + 1 ділиться на b - 1. Але тоді b + 1 ≥ 2(b - 1), тобто b ≤ 3.

Оскільки вираз b³a + 1b - 1 повинен бути визначений, то b > 1. Отже, b може приймати тільки значення 2 та 3.

Нехай спочатку b = 2. Тоді b + 1 ділиться на a + 1. Оскільки a повинно бути натуриальним, то єдино можливе значення a – це 2.

Перевірка показує, що пара (2,2) задовольняє умови задачі.

Нехай тепер b = 3. У такому випадку b + 1 = 4 ділиться на a + 1, звідки отримуємо, що a може набувати значень 1 і 3. Шляхом перевірки переконуємося, що обидві пари (1,3 и (3,3) задовольняють умови задачі.