Задача 9.4

Умова:Дано правильний 2016-кутник; 1008 його вершин пофарбовані у синій колір, а усі решта – в жовтий.

Усі попарні відстані між жовтими точками виписали у неспадаючому порядку (деякі числа могли бути виписані декілька разів). Те ж саме зробили з попарними відстанями між синіми точками.

Доведіть, що дві отримані послідовності співпадають.

Я ЗНАЮ ВІДПОВІДЬ

Підказка буде доступна через

Рішення:
Відстані між вершинами правильного багатокутника рівні тоді і лише тоді, коли між цими вершинами знаходиться однакова кількість ребер багатокутника, тому замість відстані між вершинами можна розглядати кількість ребер між цими вершинами (менше з двох).

Візьмемо деяке натуральне число m від 1 до 1008 и доведемо, що кількість пар жовтих вершин, між якими знаходиться m ребер, дорівнює кількості таких же пар синіх вершин. Легко помітити, що цього достатньо для доказу твердження задачі.

Нехай спершу m = 1008. Вершини багатокутника розбиваються на пари таких, що між ними 1008 ребер. До різнокольорових пар входить однакова кількість жовтих і синіх вершин, тому до однокольорових пар також входить однакова кількість жовтих і синіх. Отже, кількість чисто жовтих пар дорівнює кількості чисто синіх.

Припустимо тепер, що m < 1008. Нехай кількість різнокольорових пар вершин на відстані m ребер – k.

Розглянемо усі жовті вершини. Для кожної із них є дві вершини на відстані m ребер, тому кількість чисто жовтих пар на відстані m ребер дорівнює (2 * 1008 - k) / 2 (оскільки 1008 – це кількість жовтих вершин k – кількість синіх на відстані m ребер от деякої жовтої і кожна чисто жовта пара розглядається для двох вершин). Аналогічно кількість чисто синіх пар дорівнює тому ж числу.